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Este libro acerca a sus usuarios, de forma autónoma, a los dominios básicos del cálculo infinitesimal. Su metodología se ajusta al modelo didáctico seguido en las clases presenciales. Los contenidos de la obra se distribuyen en diez capítulos donde se desarrollan los recursos fundamentales del cálculo infinitesimal necesarios para la formación en este campo de científicos e ingenieros en los inicios de su graduación universitaria.
Cada capítulo contiene los recursos teóricos precisos expuestos en forma concisa pero completa, aclarando los conceptos clave con ejemplos concretos. De forma ajustada a la teoría se presenta una extensa colección de problemas totalmente resueltos y en forma comentada imitando siempre una clase presencial. En cada caso se resaltan los aspectos fundamentales del problema. Termina el capítulo con una colección de problemas propuestos paralela a la de los problemas resueltos para que el lector se ejercite y evalúe su progreso. Estos problemas propuestos también aparecen resueltos al final del libro.
Para una asimilación eficiente los estudiantes deben resolver los problemas propuestos desde el conocimiento de los recursos teóricos y con la información obtenida del estudio de los problemas resueltos. La consulta del proceso resolutivo en el libro deberá ser la última opción. Con esta sistemática podrá valorar su progreso en el aprendizaje.
Ventajas Competitivas
Cada uno de los capítulos consta de:
Resumen teórico breve y completo, al principio de cada tema: presenta, de modo sucinto, las definiciones, conceptos y resultados que el lector debe conocer para resolver las cuestiones que se propondrán a continuación.
Problemas resueltos que son ejercicios tipo test de respuesta única, seleccionados de forma cuidadosa y resueltos de forma detallada.
Aprenda
Cómo analizar los diferentes niveles de comportamiento de funciones escalares y vectoriales: Límite, continuidad, derivada direccional y diferenciabilidad.
Cómo aplicar los conceptos de derivada e integral para la solución de problemas.
Cómo resolver problemas de cálculo de áreas, centroides, longitud de arco y volúmenes de sólidos de revolució.
Conozca
Los principios de cálculo diferencial e integral en una variable.
Las propiedades de los números reales.
El concepto de función real, tipos de funciones, propiedades y operaciones.
Los conceptos de límite y continuidad.
Los conceptos de derivada e Integral.
Índice general
Prólogo IX
1. Números reales 1
1.1. Propiedades de los números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Valor absoluto. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Intervalos y topología en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Distintos conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Conjuntos acotados. Propiedad del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Funciones reales 19
2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5. Funciones elementales y sus gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Límites y continuidad 45
3.1. Límites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3. Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4. Teoremas sobre funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4. La derivada y sus aplicaciones 63
4.1. Derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2. Derivada de la función compuesta: regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3. Diferencial de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4. Teoremas de valor medio y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5. Estudio del crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7. Estudio de la convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8. Gráficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
VI • Índice general
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5. Aproximación mediante funciones polinómicas 105
5.1. Aproximación entre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4. Fórmula de Taylor de algunas funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5. Aplicaciones de la fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6. Cálculo de primitivas 127
6.1. Primitivas de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.2. Integración por cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.4. Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.5. Integración de algunas funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.6. Integración de algunas funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7. Integral de Riemann 171
7.1. Concepto de integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.2. Criterio de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.3. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.4. Teorema fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.5. Aplicaciones de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8. Integrales impropias 199
8.1. Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.3. La función gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.4. La función beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9. Series numéricas 227
9.1. Sucesiones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.2. Concepto de serie y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.3. Propiedades de las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.4. Series de términos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.5. Series de términos cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.6. Suma de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Índice general • VII
10. Series de potencias 291
10.1. Sucesiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
10.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.4. Derivación e integración de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.5. Desarrollo de una función en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
A. Soluciones de los problemas propuestos 331
A.1. Soluciones al Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
A.2. Soluciones al Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
A.3. Soluciones al Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
A.4. Soluciones al Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
A.5. Soluciones al Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
A.6. Soluciones al Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
A.7. Soluciones al Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
A.8. Soluciones al Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
A.9. Soluciones al Capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
A.10.Soluciones al Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
B. Tablas matemáticas 395
B.1. Alfabeto griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
B.2. Tablas de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
B.3. Tabla de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
B.4. Tabla de la función gamma: Valores entre 1 y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
Bibliografía 401
Indice analítico 403
Dimensiones 26x26 cms.
Peso en gramos 850
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